
\chapter{运动定律}\minitoc[n]
\section{教学要求}
这一章学习动力学，讨论运动和力的关系．牛顿运动定
律是动力学的基础，这一章学习的中心内容就是牛顿运动
定律．

这一章的教学要求是：
\begin{enumerate}

\item 掌握牛顿第一定律，明确力、惯性等概念的物理意义．
\item 正确理解和掌握牛顿第二定律；掌握力学单位制；了
解超重和失重．
\item 会运用运动学公式、力的合成和分解以及牛顿运动定
律分析解决综合性问题．
\end{enumerate}

下面对这一章的教学内容作些具体说明．

运动和力的关系问题是动力学的基本问题，要建立正确
的认识又是颇不容易的，学生从日常经验出发，往往产生错
误认识，有的认识同历史上前人产生过的错误有类似之处．在
讲述牛顿第一定律之前，介绍人类对这个问题的认识过程，可
以帮助学生理解和掌握运动和力的关系．课本里介绍了伽利
略的理想实验，使学生知道伽利略是怎样得出正确结论的，并
了解在实验事实的基础进行科学思维的研究方法，以培养他
们的思维能力．

为了使教学从牛顿第一定律比较自然地过渡到牛顿第二
定律，在讲过牛顿第一定律之后，用一节教材讲述怎样使物体
的运动状态发生改变．这里，把力和运动联系起来，指出力是
使物体产生加速度的原因，加深学生对力这个概念的理解．这
一节，还讲述了质量与运动状态改变的关系，明确质量在动力
学中的意义，从而为讲述牛顿第二定律做好准备．

牛顿第二定律是这一章的重点内容．采用在教师指导下
由学生自己动手做实验，最后得出结论的做法来讲述牛顿第
二定律，可以调动学生的学习积极性和主动性，培养学生通过
实验研究问题的能力，并使学生对牛顿第二定律有深刻的
印象．

在讲述加速度和力的关系时，不可忽略它们的方向总是
一致的，这对后面研究曲线运动很重要．

以后学习匀速圆周运动、简谐振动等部分时，要学到变力
和变加速度的概念．有必要指出牛顿第二定律不仅适用于恒
力作用下的运动，而且适用于变力作用下的运动；外力随时间
改变时，加速度也随时间改变．但不要求讲述即时加速度这
个概念．

讲述力的独立作用原理，可以使学生进一步掌握在有几
个力作用时如何应用牛顿第二定律．这里，要紧的是懂得加
速度的大小和方向是由合外力决定的．

牛顿第二定律的应用有两个方面：一是已知物体的受力
情况，确定物体的运动情况；二是已知物体的运动情况，确
定物体的受力情况．利用动力学知识，知道了力和加速度，
也可以确定物体的质量．习题中带解的题目，可以使学生对
用动力学方法确定质量有所了解．

在演示实验的基础上讲述超重和失重时，涉及到弹簧秤
和被测物体组成的一个连接体．这里，只要明确研究对象是被
测物体，分析这个物体的受力情况，列出方程，再应用牛顿第
三定律，问题也就解决了．在这里既不必分别列出弹簧秤和
被测物体的动力学方程，更不要系统地讲解连解体问题．通过
超重和失重这一节的学习，还应使学生知道，某些动力学问题
常常需要综合运用牛顿第二定律和牛顿第三定律才能解决．

关于牛顿运动定律的适用范围，应要求学生有初步的了
解．限于学生的水平，这个问题不可能作深入的讨论，对于刚
体、相对论、量子力学等名词，可以只稍加说明，也不要求学生
记住这些名词．

这一章的练习和习题是按照循序渐进的原则，由浅入深，
由易到难来安排的．具体的安排是：在得出$a\propto F$和$a\propto \dfrac{1}{m}$两个公式后，安排了仅限于应用上述正比、反比关系的题目；在
得出牛顿第二定律的公式$F_{\text{合}}=ma$之后，安排了由几个力的
作用使物体产生加速度的题目；在“力学单位制”一节后面，安
排了物体受一个力作用时用动力学和运动学的知识求解的题
目；在讲完全章内容后，安排了在多个力作用下用动力学和运
动学知识求解的较复杂的综合性题目．

\section{教学建议}
这一章可分三个单元进行教学．第一单元包括引言和第
一节《牛顿第一定律》；第二单元从第二节《物体运动状态的改
变》到第七节《力学单位制》；第三单元从第八节《牛顿运动定
律的应用（一）》到第十一节《牛顿运动定律的适用范围》．

\subsection{第一单元}
在这一单元的教学中，首先可以指导学生认真阅读“历史
的回顾”这段课文，认识牛顿第一定律是怎样在伽利略理想实
验的基础上总结出来的．

\subsubsection{力不是维持运动的原因}

这一内容的教学，可以从学
生的生活经验提出所要研究的问题．譬如为了使足球不致停
下来，运动员带球前进时必须不断用脚轻轻地拨动球；又如为
了自行车不致减慢速度，总要不断地用力蹬脚踏板．让学生
带着这些问题来阅读“历史的回顾”这一段课文，然后演示教
材上图3.1的斜面对接实验（可用粗铁丝弯制成导轨来代
替对接的斜面）．在演示图3.1丙的实验时，也可以使一辆
小车从斜面的一定高度上下滑后，在水平面上运动，让学生观
察在阻力比较大的水平面上，小车速度减慢得比较快，在阻力
不很大的平面上，小车速度减慢得比较慢，从而认识小车在
平面上运动所以会减慢速度，恰是由于阻力的作用，阻力的
大小不同使小车速度变慢的快慢程度也不同．同样，足球在
草地上滚动速度所以会变慢，不用力蹬脚踏板自行车所以会
减慢速度，也说明有阻力的作用，因此力不是维持运动的原
因，而是改变物体运动状态的原因．

讲清这个问题，还可以使学生体会到来自生活经验的直
观感觉不一定都是正确的，要学会用科学的思想方法去分析
现象，掌握事物发展变化的规律．

在教学中要引导学生认识伽利略的理想实验是以可靠事
实为基础的科学推论．可引导学生思考，刚才所做的演示实
验中如果水平面是光滑的，那么小车在水平面上运动时，它的
运动状态是否还会发生变化呢？小车将做什么运动？接着可以
进一步演示，使小车从斜面上滑下后在一块玻璃板上运动，可
以观察到小车运动的速度几乎没有变化，以加深对伽利略理
想实验的事实依据的认识．

\subsubsection{惯性和牛顿第一定律}

要引导学生对惯性的概念有
正确的理解．有的学生认为只有运动的物体才具有惯性；也
有的学生认为只有静止的物体才具有惯性，这些看法都是不
正确的．要使他们认识惯性是物体的固有属性，它和物体的
运动状态无关；但在力的作用下，物体运动状态改变的快慢
程度却与惯性有着直接的关系（牛顿第二定律所要研究的内
容）．而牛顿第一定律则阐明了物体的匀速直线运动状态或
静止状态都不需要力来维持，外力的作用只是改变物体的运
动状态，并不能改变物体的惯性．

\subsubsection{牛顿第一定律描述的是一种理想化的状态}

不受外
力作用的物体是不存在的．要使学生认识，即使前面所做的
演示实验中，当小车在光滑的水平面上运动时，不受任何阻
力，小车做匀速直线运动，仍然不属于牛顿第一定律所描述的
理想化状态．因为小车在水平面上运动时还受到重力和水平
面的支持力的作用，只是在水平方向上不受力，所以小车在水
平方向上的运动状态并不发生改变，牛顿第一定律所描述的
是一种理想化的状态，不同于可以用实验直接验证的牛顿第
二定律．

\subsection{第二单元}
这一单元以讲解牛顿第二定律为中心，是本章的重点．
\subsubsection{物体运动状态的改变}
教学中应该让学生认识，物体的运动状态决定于物体的
速度，根据牛顿第一定律可知，物体运动状态发生改变，必定
是外力作用的结果，为了帮助学生加深理解，可以举这样的
例子：要使静止在粗糙水平面上的物体开始运动，必须有外力
的作用，而且这个外力必须等于、大于物体与水平面间的最大
静摩擦力，物体才能改变它的运动状态，从静止开始运动；接
着，如果将所加的外力撤去，则物体只受到跟运动方向相反的
滑动摩擦力的作用，所以立即又改变它的运动状态，使运动速
度逐渐减小直到停止运动．


\subsubsection{牛顿第二定律}

为了加深对这一重要定律的理解，培
养学生用实验手段研究问题的能力，教材安排先由学生进行
实验，再由实验结果得出牛顿第二定律，在这个基础上，应使
学生认识以下几点：
\begin{enumerate}
    \item 力是使物体产生加速度的原因．加速度和力存在着
这样的关系：有力作用就有加速度产生，恒定的力产生恒定的
加速度，力发生变化，加速度随即发生相应的变化，力停止作
用，加速度立即等于零，而且不论在哪种情况下，加速度和产
生它的力的方向始终是一致的．
\item 物体运动的加速度不仅决定于外力，还同时跟物体
的质量有关，在这里，质量的大小对运动状态改变的快慢程
度起了一种制约作用，所以说质量是物体惯性大小的量度．
\item 把牛顿第二定律的实验结论$a\propto \dfrac{F}{m}$
改写成等式$F=kma$时，式中的比例常数$k$的取值跟式中其他物理量所用的
单位有关．在国际单位制中，质量$m$的单位是kg，加速度
$a$的单位是${\rm m/s^2}$, 力$F$的单位是N，于是：
\[k=\frac{F}{ma}=\frac{1{\rm N}}{1{\rm kg}\x 1{\rm m/s^2}}=1\]

这样，就可以使牛顿第二定律的公式简化为
\[F=ma\]
因此在应用牛顿第二定律公式解题时，必须使$m$、$a$、$F$三个
量都选用国际单位制单位．

\item 力的独立作用原理进一步阐明了加速度对力的依存
关系．不论物体是否还受有其他力的作用，也不论物体的初
始运动状态如何，一个力总是独立地使物体产生一个加速度．
譬如在落体运动或抛体运动中，不论是否存在空气阻力，重力
产生的加速度总是等于$g$. 也正因为这样，才能应用力的矢
量合成法则，把牛顿第二定律推广为$F_{\text{合}}=ma$, 力的独立作用
原理也为以后学习运动合成、波的叠加等知识准备了基础．
\end{enumerate}

\subsubsection{力、加速度、速度以及速度改变的关系}

加速度和力
有着直接的关系，但是物体运动的速度跟力并没有直接的关
系．学生常有如下的错误看法：
\begin{enumerate}
    \item 认为作用力大，则速度
一定大，作用力小，速度就不可能大；
\item 认为作用力如果
减小，则物体的速度也将逐渐减小．
\end{enumerate}
这两种错误都要进行
纠正．作用力大产生的加速度大，速度是否大还要取决于
初速度和加速的时间．这可以匀变速直线运动为例来加以
说明：即使加速度$a=F/m$
很大，但初速度$v_0$和加速时间$t$
如果很小，则$v_t=v_0+at$也不会很大；另一种情况，$a=F/m$
并
不大，但只要初速度$v_0$或加速的时间$t$很大，则$v_t$也不一
定小．后一种错误看法可以结合课本练习四第3题
进行讨论，指出：只要力$F$的方向和物体的初速度方向相
同，即使力$F$在逐渐减小，产生的加速度$a$也逐渐减小，但是，
物体的速度还是增的，只是每隔单位时间增加的速度$\Delta v$
在逐渐减小；直到当$F=0$, $a=0$时，物体的速度就不再增
大，物体将以做变速运动时最大的末速度为速度做匀速直线
运动．关于这道题目还可用一个比喻来加以说明：如果往银
行存钱，每个月存入的钱数在逐渐减少，但存款数还是在增
加的．

\subsubsection{关于质量和重量的区别与联系}

在物理学的传统讲
法中，质量和重量是两个不同的概念，质量就其本身的含义来
说，就是组成物体的物质多少；从动力学的观点来看，是物体
惯性大小的量度．质量是标量，物体的重量则是指物体所受到
的地球的重力，是矢量．

课文中先后出现的两个式子$G=mg$和
$\dfrac{G_1}{G_2}=\dfrac{m_1}{m_2}$
表明了质
量和重量的联系．教学时对这两个式子的意义可掌握以下的
分寸：
\begin{enumerate}
    \item $G=mg$这一关系式，在初中把比值$g$作为一个比例
常数，$g=9.8{\rm N/kg}$．它的意义是质量为1千克的物体的重
量是9.8牛顿．而高中课本则是从牛顿第二定律$F=ma$推导得出的，这是指物体在重力作用下运动时，重力产生的加
速度为$g$, 物体的质量为$m$, 则物体所受的重力$G=mg$. 两
处对$G=mg$的讲法，着眼点不同，但含义是一致的．

\item $\dfrac{G_1}{G_2}=\dfrac{m_1}{m_2}$一式所表明的意义是在地球上同一地点，物体的重量正比于物体的质量．这就是说，在地球上同一地点，
一切自由落体的加速度$g$都相等，在重力作用下，$g$的大小和
方向都是确定的．即比值$g=G/m$
是与物体的质量$m$无关的
一个量．

\item 由于现在已经规定重量作为质量的同意词，不再用
来表示物体所受的重力．因此，今后中学物理教学中如何处
理有关重量的问题，尚须进一步研究．
\end{enumerate}

\subsection{第三单元}
这一单元主要是综合应用牛顿运动定律和运动学的知识
来解决一些实际问题，并了解什么是超重和失重现象，解牛
顿定律的适用范围．

\subsubsection{牛顿运动定律的应用}

教材的安排是先通过应用
（一）讨论从物体的受力情况确定物体的运动情况；再通过应
用（二）从物体的运动情况确定物体的受力情况，要引导学生
认识在分析实际问题时，这两个方面常常是结合使用的，而对
运动物体受力情况的分析则是解决任何力学问题的基本出
发点．

\subsubsection{物体受力分析}

在对物体进行受力分析时，要让学生
注意首先应明确研究的对象，考察研究对象和周围哪些物体
有联系，并要结合物体的运动状态来分析．这是分析物体受
力情况时的一条基本思路，譬如在分析课本126页例题2
时，应向学生指出：题目是要求线对小球的拉力，因此小球应
是研究的对象；跟小球发生联系只有地球和悬线两个物体，也
就是小球只受到重力和悬线拉力这两个力的作用．既然小球
跟随小车一起做匀变速运动，则小球所受的合力必然不等于
零，而且小球运动的加速度必定是由重力和悬线的拉力的合
力所产生，又由于小球是沿着水平方向做匀变速直线运动，所
以这一合力也必定是沿着水平方向．于是就可以按课本图
3.11所示进行力的合成．由于合力所产生的加速度已由题
目给出，所以就可计算出悬线对小球的拉力．

\subsubsection{超重和失重} 在讲解超重和失重现象时，可以让全体
学生利用弹簧秤做课本图3.12的实验（弹簧秤可用
量程为250克力或400克力的，物体可用100克或200克的
钩码）．

在弹簧秤静止的情况下，观察指示器所指的读数就等于
钩码的重量．使弹簧秤急剧上升，就可以看到弹簧秤指示器
所指的读数突然增大，但随即又减小了，要指导学生观察开
始上升时弹簧秤读数增大这一变化．为了看清楚这一点，可
以让学生在弹簧秤挂了钩码静止的情况下，用一小块纸片卡
在弹簧秤指示器的下面，当弹簧秤加速上升时，指示器下降将
会把纸片推到下面读数较大的位置上．这样，当弹簧秤静止
时就可以看出弹簧秤读数曾经增大到多大了．

同样，在观察物体的失重现象时，应指导学生观察当弹簧
秤突然加速下降时读数减小的现象．为了观察读数曾经减小
到什么程度，也可用一小纸片卡在弹簧秤指示器的上端，用
以记录失重时的读数．

在分析超重和失重现象时，应指出：

\begin{enumerate}
    \item 挂在弹簧秤下的砝码只受重力和弹簧拉力的作用，
当钩码在竖直方向上做变速运动时，重力和拉力的合力不可
能等于零．这一合力就是使钩码产生加速度的力．在钩码向
上做加速运动或向下做减速运动时，所需的合力方向都是向
上的，而重力的方向是竖直向下的，因此只有依靠弹簧秤的拉
力大于重力，才能使得合力方向向上．这样，弹簧秤的读数就
会大于钩码的重量，这就是产生超重现象的原因，而当钩码
向下做加速运动或者向上做减速运动时，所需的合力的方向
向下，跟物体重力方向一致，因此重力中的一部分就用来产生
向下的加速度．由于重力“用掉”一部分，因此钩码作用于弹
簧秤的力将减小，即弹簧秤的读数将减小，这就是产生失重现
象的原因．
\item 如果物体向下做加速运动的加速度等于$g$, 则物体
的重力将全部用来产生加速度，这样就没有多余的力作用于
弹簧秤，弹簧秤的读数应等于零．

可以由教师做一演示，将挂有重物（钩码）的弹簧秤用线
悬在高处，在弹簧秤的指示器上贴一小块白胶布以便于观察，
这时弹簧秤的读数等于重物的重量．当用火柴烧断悬线后，
重物和弹簧秤一起自由下落，在这过程中可以观察到弹簧秤
的读数立即减小到零（演示时在落地处准备好一个网兜以承
接弹簧秤使之不会摔坏）．指出这是完全失重的现象．

\item 要使学生明确，不论超重还是失重现象，物体所受到
的重力是没有变化的，只是在物体静止时，支承这个物体的另
一物体（如桌面、悬线等）发生形变，产生了弹力作用于物体，
使物体保持平衡．当物体加速下降时，由于重力中的一部分用
来产生向下的加速度，物体需要的支持力变小了．相反，物体
加速上升时，物体所受的重力虽然也没有变化，但重力并不能
产生向上的加速度，因此支持物提供的弹力除了克服物体的
重力外还要包括使物体产生向上加速度所需的力，因而支持
物的弹力将增大，所以通常用弹簧秤（测力计）来测量物体的
重量时，必须使物体处于静止状态，避免失重或超重的影响．
\end{enumerate}

\subsubsection{牛顿运动定律的适用范围}

只需简单地向学生介绍，
牛顿定律只适用于解决低速运动问题，而不能适用于研究高
速运动，对于微观粒子的运动，一般说来，牛顿力学也是不
适用的．可指出所谓高速是指粒子的速率已高达可与光速相
比拟的程度．关于爱因斯坦狭义相对论的时空观，只需大致
地根据课本所叙述的内容进行介绍，不必作深入的讲解．这
节教材的意图在于一方面扩大学生的知识面，更重要的是使
学生认识到任何规律都有它的适用范围．

\section{实验指导}
\subsection{演示实验}

\subsubsection{阻力是使物体运动变慢的原因}
小车自斜面滑下后在水平面上运动的演示实验，可用宽
约12—15厘米、带有档边（高约0.8—1.0厘米）的两段木板，
分别作为斜面和水平面拼接起来，作为斜面的木板长约60厘
米，作为水平面的木板长约120厘米．在水平长木板的一端
装一个用扁铁作边框的网兜，如图3.1所示．长木板平面上
贴上塑料装饰板，在上面平铺一层软棉布（灯芯绒或绒布），棉
布上面再铺放两层毛巾布，以增大阻力．将作为斜面的木板
的一端用木块垫起，倾角$5^{\circ}$左右．要注意斜面跟长木板平面
的拼接处要尽可能吻合．
\begin{figure}[htp]
    \centering
    \includegraphics[scale=.6]{fig/3-1.png}
    \caption{}
\end{figure}

实验时将小车放在斜面顶端由静止开始释放．小车到达
铺有毛巾布的平面上后，运动30厘米左右即停下来；然后把
两层毛巾布取下（注意用薄木片调节拼接处的高度使之吻合），
再把小车放在斜面顶端由静止开始释放，小车在铺有软棉布
的平面上运动的距离将增大到60厘米左右．如果把棉布取
下，小车在斜面的同一高度滑下后，可以沿着塑料平面一直运
动下去直到落入网兜里．

\subsubsection{用气垫导轨观察骑块的运动}
使用前必须将导轨调节水平（沿导轨方向和垂直于导轨
方向都应用水平仪进行调节）．用软布擦去骑块内侧以及导
轨表面的浮灰．然后接通气泵，如发现气孔有堵塞现象，可用
细铜丝（从多芯软导线中抽出一根使用，不要用钢丝，因为钢
丝太硬会使气孔边缘卷口起毛，增大骑块运动时的阻力）通一
下，务必使每个气孔保持畅通．

实验时应先开动气泵，待正常供气后，再将骑块放上导
轨，轻轻推动一下，便可观察到骑块的运动很接近于匀速直线
运动．应强调指出，所要观察和研究的是骑块已经开始运动
以后的一段过程，由于摩擦阻力很小可以忽略，重力和气垫的
托力相互平衡，合力为零，因此骑块的匀速直线运动状态并不
发生改变，当骑块到达导轨一端被弹簧片弹回反向运动时，可
指出这时由于受到外力作用，迫使骑块改变了运动方向（也就
是改变了运动状态），但在反向运动的过程中，由于骑块所受
合力为零，骑块的匀速直线运动状态仍不发生改变．

\subsubsection{惯性现象}
如图3.2所示，将小车（质量约为200克）用细线通过定滑
轮和一质量较大的钩码（譬如30克）相连，用手挡住小车，不使
它运动，将一木块（体积约为$3\x6\x10{\rm cm^3}$)竖起来放在车上．
释放后，小车突然做加速运动，木块由于惯性将向后面倾倒．
\begin{figure}[htp]
    \centering
    \includegraphics[scale=.8]{fig/3-2.png}
    \caption{}
\end{figure}

利用同一装置继续演示，开始时用手扶住木块同时施加
适当的阻力使小车的加速度不至太大．待小车和木块一起运
动后再完全放手，这时木块和小车将保持相对静止，当小车
运动到平面一端受阻突然停止运动时，木块由于惯性将向前倾倒．

\subsubsection{物体运动状态的改需要力的作用}
物体速度大小的改变．将一辆小车放在水平的玻璃
板上，使小车从静止到运动需要用手推，这就是要有力的作用
（图3.3）；在小车已经具有速度的情况下，要使它停止运动，
需要用手来挡，这也就是要有力的作用，如图3.4．
\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]

    \node at (.5,1)[above]{$v_0=0$};
\draw[->](3,1)--node[above]{$v$}(4,1);
    \draw(2.6,0)rectangle (4.4,.8) ;  
\draw[dashed](-.4,0)rectangle (1.4,.8) ;   
  \foreach \x in {0,1}
{
    \draw[fill=white, dashed] (\x,0) circle(.2);
    \draw[fill=white] (\x+3,0) circle(.2);
}  
\draw[->](-1.2,.4)node[left]{$F$}--(-.4,.4);
\draw(-1,-.2)--(5,-.2);
\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}

\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]
    \node at (3.5,1)[above]{$v=0$};
    \draw[->](0,1)--node[above]{$v_0$}(1,1);
    \draw(2.6,0)rectangle (4.4,.8) ;  
\draw[dashed](-.4,0)rectangle (1.4,.8) ;   
  \foreach \x in {0,1}
{
    \draw[fill=white, dashed] (\x,0) circle(.2);
    \draw[fill=white] (\x+3,0) circle(.2);
}  
\draw(-1,-.2)--(5,-.2);
\draw[->](2.2,.4)--node[above]{$F$}(1.4,.4);
\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}

物体速度方向的改变．将一瓷球（白色的、半径较大，
可见度较大，或者用灌水的乒乓球）系在细线一端，另一端有
一金属小杯，把环套在竖直方向的固定轴上，给瓷球一个垂直
于拉线方向的速度，球就在水平面上沿着一个以线长为半径
的圆周运动，如图3.5所示（水平面可以用涂塑装饰板做）．如
果水平面的阻力很小，可以认为瓷球的速率不变，但是从拉线
被绷紧的现象可以想象，线对瓷球有拉力的作用，才使瓷球的
运动方向时刻发生改变．
\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
    \includegraphics[scale=.6]{fig/3-5.png}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
    \includegraphics[scale=.6]{fig/3-6.png}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \end{figure}

物体的速度大小和方向都发生改变，如图3.6所示，
使一乒乓球沿着桌面以某一速度运动，当乒乓球离开桌子后
将沿一曲线下落．可以这样设想：乒乓球离开桌子后，如果没
有重力的作用，仍将沿着原来的水平方向作匀速直线运动．
正是由于下落过程中只受到重力的作用，乒乓球的速度大小
和方向才都发生了改变．

\subsubsection{加速度和力的关系以及加速度和质量的关系}
（演示方法见学生实验8和9）

\subsubsection{牛顿第二定律的应用}
为结合课本126页例题2的讲解可以做如下的演示：
用手提着一个挂在细绳一端的质量较大的单摆球，当球静止
时，细绳在竖直方向，当提着小球突然向右侧加速跑动时，即
可看到悬挂小球的线向左偏斜的现象．

\subsubsection{超重和失重现象}

可按课本图3.12所示的情况
进行演示，为了能把超重和失重的最大续数
固定下来，可以剪两小块厚纸（如用包装牙膏
等软管用纸盒），形状如图3.7所示．两侧狭
缝的宽度相当于弹簧秤刻度板的厚度，当弹簧秤挂着100
克钩码时，把纸片卡在弹簧秤指示器的下方和上方．卡入纸
片时，先将纸片顺着刻度板中部的隙缝嵌人，然后再扭转$90^{\circ}$,
并使它紧靠着指示器．当把弹簧秤迅速上提或迅速下降时，指
示器就会把纸片推向下方或上方，并停留在那里，这样就可
以看出超重和失重的最大读数．
\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
    \includegraphics[scale=.8]{fig/3-7.png}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[t]{0.48\textwidth}
    \centering
    \includegraphics[scale=.6]{fig/3-8.png}
    \caption{}
    \end{minipage}
    \end{figure}

如图3.8所示，将一杠杆支放在铁架台上，在杠杆左
端悬挂一根细链条，使链条的
一端$A$固定在杠杆上，另一端
$B$用细线系在链条$A$端的一
个环上，在杠杆右端挂一砝码
使杠杆平衡．点燃火柴烧断系
住链条$B$端的细线，使这一半
链条下落．这时可观察到杠杆
左端向上倾斜，说明杠杆左侧的一半链条下落时发生了失重现象．这是因为当这一半链条
下落时，它所受的重力已用于产生向下运动的加速度，作用于
杠杆上的力减小了，因此杠杆失去了平衡，但当这一半链条
下落到被上一半链条拉住时，则杠杆又会恢复平衡．

\subsection{学生实验}
\subsubsection{研究加速度和力的关系}
实验时要注意以下几个问题：

实验前要消除摩擦阻力的影响，将长木板不带定滑
轮的一端下面垫放一木块，使木板倾斜（约$5^{\circ}$左右），将小车
放在木板上，先不要拴上砂桶．在小车后面固定一条纸带，并
让它穿过打点计时器的两个限位孔，将小车释放后，它可能
仍保持静止，也可能沿长木板加速下滑．适当改变木块的垫
放位置（即改变木板的倾斜程度），直到推动一下小车后，小车
基本上能匀速下滑（纸带上打出的点子的间隔基本上是均匀
的）．这时摩擦阻力和小车的重力沿斜面方向的分力相平衡，
消除了摩擦的影响．

砂桶和砂的质量只有远小于小车质量（$m\ll M$)的条
件下，才可以认为它的重量（mg)等于对小车的拉力（还要注
意调节定滑轮的位置使得拉绳平行于斜面），一般实验用的
小车质量约为200克，因此砂和砂桶的总质量以不超过20克
为宜．如果砂桶和砂的质量太大将会产生明显误差（系统误
差）．这个问题不要在实验时讨论，以免分散学生的注意力，
可以在总结出牛顿第二定律以后再安排讨论．

这个实验中，拉力所用的单位，可以用弹簧秤直接测
量砂桶和砂的重量，然后读取用牛顿做单位的读数．

每次改变拉力，打出的纸带都要进行编号，并标明所
用拉力的大小，以免在处理数据时发生张冠李戴的混乱
情况．

在指导写实验报告时，应要求学生把每次改变拉力
时的记录纸带，作为原始资料附在实验报告中．并要写出自己
设计的能够反映数据处理过程的表格，以及与之相应的、画在
坐标纸上的$a$-$F$图象．实验报告还应包括明确的实验结
论．在最后部分还可根据课本练习二第2题的要
求，利用实验数据来求出每次实验中，加速度$a$和拉力$F$的
比值，看看它们是否大致相等，可启发学生思考这一比值跟
$a$-$F$图象中直线的斜率有怎样的关系？

\subsubsection{研究加速度和质量的关系}
这个实验的注意事项和编写实验报告的要求和实验(一)相
同．此外还应注意，在改变物体质量时，变化范围可适当放大
一些，如可分别增加50克、100克、150克、200克、250克
砝码．

实验后可引导学生讨论课本练习三第2、3题．

\section{习题解答}

\subsection{练习一}
\begin{enumerate}
	 \item 一个球以20${\rm cm/s}$的速度运动着，而且没有受到力的作用，5秒后它的速度将是多大？
	 
     \begin{solution}
        运动着的球没有受到力的作用，它将保持匀速直线
        运动状态，所以5秒后仍以20${\rm cm/s}$的速度沿着原来运动
        的方向做匀速直线运动．
     \end{solution}
	 \item 在行驶的火车里的水平桌面上放着一个小球，当小球突然相对于车厢发生向前运动或者向后运动时，火车的运动状态分别发生了怎样的改变？
	 
     \begin{solution}
        当小球突然相对于车厢发生向前运动时，说明火车
        突然制动做减速运动；当小球突然相对于车厢发生向后运动
        时，说明火车突然加速做加速运动．
     \end{solution}
	 \item 地球从西向东转，为什么我们向上跳起来以后还落到原地，而不落到原地的西边？
	 
     \begin{solution}
        因为我们站在地面时具有和地面相同的自转速度，
        当我们向上跳起时，由于惯性，在水平方向上仍要保持原来的
        速度前进，因此落下时仍落在原地而不会落到原地的西边．
     \end{solution}
	 \item 分别举出几个利用惯性和防止惯性的不利影响的例子．
	 
     \begin{solution}
        这类例子很多．锤头和木柄间有些松动，可以把锤
        子竖起来使锤柄朝下，在固定物体上撞击几下，锤柄因撞击受阻而突然停止运动，锤头由于惯性要继续向下运动，结果锤头
        和柄就套紧了．这是利用惯性的例子．为了行车安全，规定
        了城市里各种车辆的最高行驶速度，这是为了在紧急制动时
        防止由于惯性而造成的事故，这是防止惯性的不利影响的
        例子．
     \end{solution}
\end{enumerate}



\subsection{练习二}
\begin{enumerate}
	\item 根据你的记录纸带，量出有关数值，计算出每次实验的加速度，列出表格，作出$a-F$图象．
	 
    \begin{solution}
        说明：本题应根据每个人的实验结果，处理数据，填写表
        格，作出图象．
    \end{solution}
	\item 利用你自己的数据算出每次实验中$a$和$F$的比值，看看这些比值是否大致相同？利用这种办法来研究$a$和$F$的关系，比起用图象来研究，哪种办法方便？
	 
    \begin{solution}
        说明：根据每次实验中$a$和$F$的对应数据计算出来的$a$
        和$F$的比值，大致是相同的．用这种办法虽然也可以得出加
        速度$a$和力$F$成正比关系的结论，但是要进行多次计算．而
        用画$a$-$F$图象的方法，可以看出各个点基本上分布在同一条
        通过坐标轴原点的直线上，这样就可以方便地得出$a$和$F$成
        正比关系的结论．因此采用图象来研究比较方便．  
    \end{solution}
	\item 5牛的力的作用在一个物体上，能使它产生2$\msq$的加速度，要使它产生5$\msq$的加速度，需要多少牛的力？
	 
    \begin{solution}
对于一个确定的物体来说，加速度和力成正比．  
\[\frac{a_1}{a_2}=\frac{F_1}{F_2}\]
所以：
\[F_2=\frac{F_1a_2}{a_1}=\frac{5\x5}{2}=12.5{\rm N}\]      
    \end{solution}
\end{enumerate}



\subsection{练习三}
\begin{enumerate}
	\item 根据你的记录纸带，量出有关数值，计算出每次实验的加速度，列出表格，作出$a-1/m$图象．
	 
    \begin{solution}
        说明：本题应根据每个人的实验结果，处理数据，填写表
格，作出图象．
    \end{solution}
\item 利用你自己的数据算出每次实验中$m$和$a$的乘积，
看看乘积的数值是否大致相同？你由此能得出什么结论？利用这种办法来研究$a$和$m$的关系，比起用图象来研究，哪种办法方便？
	 
\begin{solution}
    说明：根据每次实验中$m$和$a$的乘积，可以看出它们的
数值大致是相同的．这说明了在相同的力作用下，小车的加
速度$a$和小车的质量$m$成反比．利用这种办法来研究$a$和$m$
的关系要进行多次计算，用图象法研究，也要多次计算$1/m$
的数值，但画出$a$-$1/m$图象后，可以直观地看出各个点基本
上分布在同一条通过坐标轴原点的直线上，说明$a$和$1/m$成
正比，从而得出$a$和$m$成反比关系的结论．

因此在研究加速度和质量的关系时，这两种处理数据的
方法对比起来，用图象法并不显得很方便，但是作为一种数据
处理方法还是应该学习的．
\end{solution}
\item 你已经用图象研究了$a$和$F$、$a$和$m$的关系，谈谈用图象处理实验数据的好处．
	 
\begin{solution}
利用图象比较直观，能为我们寻求物理量之间的定量关系提供线索，譬如$a$-$F$图象是一条直线，这就直观地说
    明了$a$和$F$成正比关系．$a$-$1/m$图象也是一条直线，说明了
    $a$和$1/m$成正比即$a$和$m$成反比关系．

    此外，图象法的优点还在于对测量数据的取舍比较方便．
    譬如在画$a$-$F$图线时，有些点并不在直线上，但只要直线能
    通过大多数的点，就可以得出$a$和$F$成正比的结论．而如果
    要计算每一次实验中$a$和$F$的比值，有的比值可能跟真实值
    相差较大，这样求得的平均比值的误差就会偏大．    
\end{solution}
\item 一辆卡车在空载时质量是$3.5\times 10^3$千克，载货时的质量是$6.0\times 10^3$千克用同样大小的牵引力，如果空载时使卡车产生1.5$\msq$的加速度，载货时产生多大的加速度？（不考虑阻力）
	 
\begin{solution}
    在不考虑阻力的情况下，对卡车的牵引力就是使卡
车产生加速度的力，在同样大小的牵引力作用下，卡车的加速
度跟它的质量成反比．
\[\frac{a_1}{a_2}=\frac{m_2}{m_1}\]
所以：
\[a_2=\frac{m_1a_1}{m_2}=\frac{3.5\x 10^3\x 1.5}{6.0\x 10^3}=0.88\msq\]
\end{solution}
\end{enumerate}



\subsection{练习四}
\begin{enumerate}
	\item 从牛顿第二定律知道，无论怎样小的力都可以使物体产生加速度，可是我们用力提一个很重的物体时，却提不动它．这跟牛顿第二定律有无矛盾，为什么？
	 
    \begin{solution}
        没有矛盾．在用力提一个很重的物体时，没有提起来，这是因为所用的力小于物体所受的重力．用力的结果只
能减小重物对支持物的压力，重物虽然受到向下的重力，向上
的支持力以及手提重物时的作用力，但它所受的合力还是等
于零，因此重物不会产生加速度，自然就继续保持静止状态
不动．
    \end{solution}
\item 要把一个箱子在地板上从这一端推到另一端，我们在全部时间内都必须用力推它，停止用力，箱子就会停下来．马必须用力拉车，车子才前进，停止用力，车子就会停下来．亚里士多德怎样解释上述现象？根据牛顿运动定律应该怎样解释？
	 
\begin{solution}
    亚里士多德认为，力是维持物体运动的原因．必须
    有力作用在物体上，物体才能运动，没有力的作用，物体就要
    静止下来，根据这种观点，人必须用力推箱子，箱子才能运动，
    停止对它用力，它就停下来；马必须用力拉车，车才能运动，停
    止对它用力，它就停下来．

    根据牛顿运动定律，力不是维持运动的原因，而是改变物
    体运动状态的原因．当人的推力大于箱子和地板间的摩擦力
    时，箱子就会在合外力的作用下产生加速度改变原来的静止
    状态开始运动；当人停止用力时，箱子又会在摩擦阻力的作用
    下产生跟原来的运动方向相反的加速度，使它做减速运动，很
    快地停了下来，马拉车，车子会前进，停止用力，车子就会停
    下来的原因，也是如此．
\end{solution}
\item 一个物体受到一个逐渐减小的力的作用，力的方向跟速度的方向相同，物体的速度怎样改变？
	 
\begin{solution}
    物体的速度将逐渐增大，直到这个力减小到零为止．这是因为虽然力在逐渐减小，只是使物体产生的加速度逐渐
    减小，但由于力的方向跟速度的方向相同，它的速度还是不断
    增大的．
\end{solution}
\item \begin{enumerate}
\item  质量是0.5千克的物体在一个恒力的作用下得到
0.1$\msq$的加速度，这个恒力是多大？
\item 10牛的力使一个物体得到2.0$\msq$的加速度，这个物体的质量是多大？
\item 质量是0.1千克的物体，在5牛的恒力作用下，得到多大的加速
度？
\end{enumerate}
	 
\begin{solution}
    根据牛顿第二定律
\begin{enumerate}
    \item $F=ma=0.5\x 0.1=0.05{\rm N}$
    \item $F=ma,\quad m=\dfrac{F}{a}=\dfrac{10}{2.0}=5{\rm kg}$
    \item $F=ma,\quad a=\dfrac{F}{m}=\dfrac{5}{0.1}=50\msq$
\end{enumerate}
\end{solution}
 \item 质量是1.0千克的物体受到互成30$^\circ$角的两个力的
作用，这两个力都是10牛，这个物体产生的加速度是多大？
	 
\begin{solution}
    这个物体所受到的合力
\[F_{\text{合}}=2F\cos\frac{\alpha}{2}=2\x 10\x \cos15^{\circ}=2\x 10\x 0.966=19.3{\rm N}\]
根据牛顿第二定律合力产生的加速度
\[a=\frac{F_{\text{合}}}{m}=\frac{19.3}{1.0}=19.3\msq\]
\end{solution}
\item 下列说法是否正确：
\begin{enumerate}
\item 物体的速度越大，表明物体所受的合外力越大．
\item 根据$F_{\text{合}}=ma$，得到$m=F_{\text{合}}/a$，所以物体的质量跟物
体所受的合外力成正比．
\item 物体所受合外力越大，速度变化越大．
\end{enumerate}

\begin{solution}	 
\begin{enumerate}
    \item 不正确．因为物体的速度大小和合外力的大小并
    无直接关系，合外力只决定了物体的加速度．
    \item 不正确．因为质量是物体惯性大小的量度，是物体固
    有的属性，跟物体是否受力无关．
    \item 不一定正确．因为速度变化$\Delta v$的大小不仅跟合外力
    产生的加速度$a$有关，还跟速度发生变化的时间$\Delta t$有关，即
    $\Delta v=a\Delta t$. 即使物体所受的合外力增大了，如果作用时间
    $\Delta t$很小，速度的变化$\Delta v$也不一定大．
\end{enumerate}
         
\end{solution}

\end{enumerate}








\subsection{练习五}
\begin{enumerate}
\item 先后在广州和北京用天平来称量同一个物体，得到
的结果是否相同？如果先后用弹簧秤来称量，得到的结果是否
相同？说明理由．
	 
\begin{solution}
    天平是利用杠杆（并且是等臂杠杆）平衡原理来称量
物体质量的，设被测物体的质量为$m_x$, 砝码质量为$m$, 力臂
为$L$, 当天平平衡时，应有$m_xgL=mgL$的关系．消去力臂$L$
和重力加速度$g$, 则$m_x=m$. 因此先后在广州和北京用天平
来称量同一个物体，得到的结果是相同的．

而弹簧秤是根据在弹性限度内，弹簧的形变跟弹力成正
比的原理制成的．作用的力越大，则弹簧的形变量也越大，弹
簧秤的示数也越大．用弹簧秤来测量物体的重量$G=mg$时，
由于广州的重力加速度小于北京的重力加速度，所以如果先
后用弹簧秤来称量，得到的结果是不相同的，在广州称量时弹簧秤的示数要小些．
\end{solution}
\item 一个学生认为半块砖的重力加速度是整块砖的重力
加速度的两倍，因为半块砖的质量是整块砖的质量的一半．另
一个学生认为半块砖的重力加速度是整块砖的重力加速度的
一半，因为半块砖的重量是整块砖的重量的一半．他们的说
法对不对？为什么？
	 
\begin{solution}
    他们的说法都不对，这是因为半块砖整块砖的重
力加速度$g$在同一地区是不变的．第一个学生的错误在于认
为半块砖和整块砖受到的重力是相等的；另一个学生的错误
在于认为半块砖和整块砖的质量是相等的，而他们发生错误
的共同原因还在于都认为重力加速度对于不同的物体可以是
不同的．
\end{solution}
\item 北京的重力加速度为980.1${\rm cm}/{\rm s^2}$．质量是1千
克的物体在北京的重量是多少牛？
	 
\begin{solution}
    根据重量和质量的关系，
\[G=mg=1\x9.801=9.801{\rm N}\]
\end{solution}
\item 有一架仪器，质量是3.0千克，把它射到月球上，这
架仪器的质量是否改变？它在月球上的重量是多少牛？月球表
面的$g$取1.6$\msq$．
	 
\begin{solution}
   \[ G_{\text{月}}=mg_{\text{月}}=3.0\x1.6=4.8{\rm N}\]
\end{solution}
\item 仔细看看课文中重力加速度的数值表，从中你可以
得到什么结论？
	 
\begin{solution}
    重力加速度的数值随纬度的增加而增大，赤道地区
的$g$值最小、北极地区的$g$值最大，但相差不很大．
\end{solution}
\item 据说以前有个商人，从荷兰那里把5000吨的货物运
往非洲靠近赤道的某个港口，发现货物少了19吨．在荷兰和
非洲，都是用托盘弹簧秤来称量货物的，你根据书中所列$g$
的数值和荷兰的地理纬度，大致估算一下货物的重量是否会
差这么多．
	 
\begin{solution}
    荷兰的地理纬度可取北纬$55^{\circ}$, 重力加速度的数值
可取$9.816\msq$．靠近赤道的某个港口的重力加速度可取
$9.780\msq$.

在荷兰，货物的重量为$G=mg,\quad g=9.816\msq$.

在赤道，货物的重量为$G'=mg',\quad g'=9.780\msq$.

重量的变化
\[\Delta G=G'-G=m(g'-g)=5000\x10^3\x(9.780-9.816)
=-0.18x10^{6}{\rm N}\]

因为质量为1吨的物体的重量为$9.8\x10^3$牛，所以
\[\Delta G=\frac{0.18\x10^6}{9.8\x10^3}=-18.4\text{吨力}\]
可见，题中所说货物少了19吨是可能的．
\end{solution}
\end{enumerate}


\subsection{练习六}
\begin{enumerate}
\item 在厘米$\cdot$克$\cdot$秒制中，力的单位达因是这样定义的：
使质量是1克的物体产生1${\rm cm}/{\rm s^2}$的加速度的力，叫做1
\textbf{达因}．试证明: $1{\rm N}=10^5{\rm dyn}$．
	 
\begin{solution}
    力的国际制单位
\[\begin{split}
    1{\rm N}&=1{\rm kg}\x 1\msq\\
    &=1000{\rm g}\x 100{\rm cm/s^2}=10^5{\rm g\cdot cm/s^2}
\end{split}\]
在厘米·克·秒制中定义力的单位
\[1{\rm dyn}=1{\rm g}\cdot 1{\rm cm/s^2}=1{\rm g\cdot cm/s^2}\]
可见$1{\rm N}=10^5{\rm g\cdot cm/s^2}=10^5{\rm dyn}$．
\end{solution}
\item 有两个力，一个是100达因，一个是20牛，哪个力
大？大的是小的多少倍？
	 
\begin{solution}
    设$F_1=10^6{\rm dyn}=\frac{10^6}{10^5}=10{\rm N}$．而$F_2=20{\rm N}$，所
以$F_2>F_1$, 即20牛的力大．
\[\frac{F_2}{F_1}=\frac{20}{10}=2\]
即$F_2$是$F_1$的2倍．
\end{solution}
\item 一个原来静止的物体，质量是600克，受到0.2牛的
力的作用，求物体在3.0秒末的速度．先用国际单位制计算，
再用厘米$\cdot$克$\cdot$秒制计算．
	 
\begin{solution}
\begin{enumerate}
    \item $a=\dfrac{F}{m}=\dfrac{0.2}{0.6}=\dfrac{1}{3}\msq,\qquad v=at=\dfrac{1}{3}\x 3.0=1\ms$
\item $a=\dfrac{F}{m}=\dfrac{0.2\x 10^5}{600}=\dfrac{1}{3}\x 10^2{\rm cm/s^2},\qquad v=at=\dfrac{1}{3}\x 10^2\x 3.0=100{\rm cm/s}$
\end{enumerate}
\end{solution}
\item 从炮筒射出的炮弹，质量是10千克，速度是$1.0\times 
10^8\ms$，炮弹在炮筒内运动的时间是$4.0\times 10^{-8}$秒．求火
药爆炸所生气体对炮弹的平均压力．

\begin{solution}	 
    炮弹在发射前原是静止的，假设炮弹在火药爆炸所
    生气体的压力作用下做匀加速直线运动．
\[v=at,\quad a=\frac{v}{t}=\frac{1.0\x 10^3}{4.0\x 10^{-3}}\msq=\frac{1}{4}\x 10^6\msq\]
气体对炮弹的平均压力
\[F=ma=10\x\frac{1}{4}\x 10^6=2.5\x 10^6{\rm N}\]
\end{solution}
\end{enumerate}



\subsection{练习七}
\begin{enumerate}
\item 一个质量是100克的运动物体，初速度是0.5$\ms$，
受到的力是2.0牛，力的方向跟速度方向相同．求3.0秒末的
速度．
	 
\begin{solution}
    由于力的方向跟物体运动的初速度方向相同，在力的
作用下物体将做匀加速直线运动．根据牛顿第二定律，加速度
\[a=\frac{F}{m}=\frac{2.0}{0.1}=20\msq\]
在3.0秒末的速度
\[v_t=v_0+at=0.5+20\x3.0=60.5\ms\]
速度的方向和初速度相同．
\end{solution}
\item 一个原来静止的物体受到互成60$^\circ$角的两个力的作
用，这两个力的大小都是50牛，物体的质量是2.0千克，求
3.0秒内物体发生的位移．
	 
\begin{solution}
    物体受到的合力
    $$F_{\text{合}}=2F\cos\dfrac{\alpha}{2}=2\x50\x\cos30^{\circ}=50\sqrt{3}{\rm N}$$
加速度
\[a=\frac{F_{\text{合}}}{m}=\frac{50\sqrt{3}}{2.0}=25\sqrt{3}\msq\]
3.0秒内物体发生的位移大小
\[s=\frac{1}{2}at^2=\frac{1}{2}\x 25\sqrt{3}\x 9.0=195{\rm m}\]
方向跟合力方向一致，即跟两个力都成30$^\circ$角．
\end{solution}
\item 一个放在桌面上的木块，质量是0.10千克，在水平
方向受到0.06牛的力，木块和桌面的滑动摩擦力是0.02牛．
求木块通过1.8米所用的时间．
	 
\begin{solution}
    物体所受的合力
\[F_{\text{合}}=F-f=0.06-0.02=0.04{\rm N}\]
加速度
\[a=\frac{F_{\text{合}}}{m}=\frac{0.04}{0.10}=0.4\msq\]

由于物体做初速度等于零的匀变速直线运动，根据公式
$s=\dfrac{1}{2}at^2$, 得通过1.8米所用的时间
\[t=\sqrt{\frac{2s}{a}}=\sqrt{\frac{2\x 1.8}{0.4}}=3{\rm s}\]
\end{solution}
\item 一物体的质量是10千克，在40牛的水平拉力作用
下沿桌面从静止开始运动，物体和桌面的滑动摩擦系数为
0.20．如果茌物体运动后的第5秒末把水平拉力撤除，算一
算，一直到运动停止，物体一共走多远．
	 
\begin{solution}
    由题意可知，在整个过程中，物体的运动分两个阶段，
第一阶段物体在合力的作用下从静止开始做匀加速直线运
动，第二阶段即在第5秒末把水平拉力撤除后，物体将在滑动
摩擦力作用下做匀减速直线运动，直到停止运动．

第一阶段的加速度
\[a_1=\frac{F_{\text{合}}}{m}=\frac{F-f}{m}=\frac{F-\mu mg}{m}=\frac{40-0.20\x 10\x 9.8}{10}=2.04\msq\]
位移
\[s_1=\frac{1}{2}a_1t_1^2=\frac{1}{2}\x 2.04\x 5^2=25.5{\rm m}\]

第二阶段的加速度
\[a_1=\frac{f}{m}=\frac{\mu mg}{m}=\mu g=0.20\x 9.8=1.96\msq\]

由于$a_2$的方向跟物体的运动方向相反，因此在代入匀变
速直线运动公式时，$a_2$应取负值，即
\[v^2_1-v^2_0=2(-a_2)s_2\]

式中$v_1=0$, $v_0=a_1t_1$, 于是第二阶段的位移
\[s_2=\frac{v^2_0}{2a_2}=\frac{(a_1t_1)^2}{2a_2}=\frac{(2.04\x 5)^2}{2\x 1.96}=26.5{\rm m}\]
总位移
\[s=s_1+s_2=25.5+26.5=52.0{\rm m}\]
\end{solution}
\item  质量为10千克的物体沿长5米、高2.5米的斜面由
静止匀变速下滑，物体和斜面间的滑动摩擦系数为0.30．物
体的加速度多大？物体从斜面顶端下滑到底端需要多长时间？
	 
\begin{solution}
    物体沿斜面下滑的过程中，共受到重力$mg$、斜面的
弹力$N=mg\cos\theta$以及滑动摩擦力$f=\mu N=\mu mg\cos\theta$三个力
的作用，垂直于斜面方向的合力为零，平行于斜面向下的合力
\[\begin{split}
    F&=mg\sin\theta-f=mg\sin\theta-\mu mg\cos\theta\\
&=mg(\sin\theta-\mu\cos\theta)\\
&=10\x9.8\left(\frac{2.5}{5}-0.30\x\frac{\sqrt{5^2-2.5^2}}{5}\right)\\
&=10\x9.8(0.5-0.26)=23.5{\rm N}
\end{split}\]
沿斜面下滑时物体的加速度
\[a=\frac{F_{\text{合}}}{m}=\frac{23.5}{10}=2.35\msq\]
根据$s=\dfrac{1}{2}at^2$, 物体从斜面顶端下滑到底端需要的时间
\[t=\sqrt{\frac{2s}{a}}=\sqrt{\frac{2\x 5}{2.35}}=2.06{\rm s}\]
\end{solution}
\end{enumerate}


\subsection{练习八}
\begin{enumerate}
\item 质量是20吨的车厢以0.2$\msq$的加速度前进，运
动的阻力是它的重量的0.02倍，牵引力是多少牛？
	 
\begin{solution}
    设牵引力为$F$, 阻力为$f$, 则车厢在运动方向上所受
    的合力$F_{\text{合}}=F-f$.

    根据牛顿第二定律$F_{\text{合}}=ma$, 于是$F-f=ma$, 则牵引力
\[\begin{split}
    F=ma+f &=20\x10^3\x0.2+0.02\x20\x10^3\x9.8\\
    &=7.9\x10^3{\rm N}
\end{split}\]
\end{solution}
\item  列车在水平铁路上行驶，在60秒内速度由82$\kmh$增加到54$\kmh$，列车的质量是$1.0\times 10^8$吨，机车对
列车的牵引力是$1.5\times 10^5$牛．求列车在运动中所受的阻力．
	 
\begin{solution}
    根据题意列车的初速度
    $$v_0=32\kmh=\dfrac{32\x 10^3}{3600}\ms=8.9\ms$$
    运动50秒时的末速度 
\[v_t=54\kmh=\frac{54\x 10^3}{3600}\ms=15\ms\]
于是加速度
\[a=\frac{v_t-v_0}{t}=\frac{15-8.9}{50}=0.12\msq\]
由于列车运动的加速度是由合力所产生的，即
$F-f=ma$, 所以阻力
\[\begin{split}
    f=F-ma&=1.5\x10^5-1.0\x10^3\x10^3\x0.12\\
&=    1.5\x 10^5-1.2\x10^5=3\x10^4{\rm N}
\end{split}\]
\end{solution}
\item  以1$\ms$行驶的无轨电车，在关闭电动机以后经
过10秒停下来．电车的质量是$4.0\times 10^3$千克．求电车所受
的阻力．
	 
\begin{solution}
    行驶着的电车关闭电动机后，在运动方向上只受到
阻力作用，因此电车是做匀减速直线运动．

根据$v_t=v_0+at$, 其中$v_t=0$, 则加速度
\[a=\frac{-v_0}{t}=-\frac{15}{10}=-1.5\msq\]
负号意义表示加速度的方向跟初速度$v_0$的方向相反．

由于这一加速度是由阻力所产生，根据牛顿第二定律，阻
力
\[f=ma=4.0\x10^3\x1.5=6.0\x10^3{\rm N}\]
阻力的方向跟电车行驶的方向相反．
\end{solution}
\item  用弹簧秤拉着一个物体在水平面上做匀速运动，弹
等秤的读数是0.40牛．然后用弹簧秤拉着这个物体在这个
水平面上做匀变速运动，测得加速度是0.85$\msq$，弹簧秤
的读数是2.10牛．这个物体的质量是多大？
	 
\begin{solution}
    由题意可知，物体与水平面间的滑动摩擦力$f=0.40$
牛．当物体作匀变速直线运动时，设摩擦力保持不变，物体的
加速度是由弹簧秤的拉力$F$和摩擦力$f$的合力所产生，于是，
$F-f=ma$. 则物体质量
\[m=\frac{F-f}{a}=\frac{2.10-0.40}{0.85}=2.0{\rm kg}\]
\end{solution}
\end{enumerate}



\subsection{练习九}
\begin{enumerate}
\item 某钢绳所能承受的最大拉力是4.0吨，如果用这条
钢绳使3.5吨的货物匀加速上升，在0.50秒内发生的速度改
变不能超过多大？
	 
\begin{solution}
    货物在竖直向上做匀变速直线运动的过程中，货物
受到钢绳拉力和重力的作用，这两个力的合力方向是竖直向
上的，即
\[F-mg=ma=m\frac{v_t-v_0}{t}\]

由于钢绳所能承受的拉力$F$有一个最大值，所以在一定
时间$t=0.50$秒内，货物的速度改变$v_t-v_0$也就受到限制，
\[\begin{split}
    v_t-v_0&= \frac{(F-mg)t}{m}\\
    &=\frac{(4.0\x10^3\x9.8-3.5\x10^3\x9.8)\x0.50}{3.5\x 10^3}\\
    &=\frac{0.5\x10^3\x9.8\x0.50}{3.5\x10^2}=0.7\ms
\end{split}\]
即在0.50秒内货物的速度变化不能超过0.7$\ms$．
\end{solution}
\item 升降机以0.30$\msq$的加速度竖直减速下降，站在
升降机里60千克的人，对升降机地板的压力是多大？他站在
升降机中的体重计上，体重计表示的他的体重是多大？如果升
降机以相同的加速度竖直减速上升，情况又怎样？在什么情况
下人对地板的压力是零？
	 
\begin{solution}
    当人跟随升降机一起减速下降时，人受到重力和地
板的支持力N的作用，这两个力的合力方向竖直向上，即
\[N-mg=ma\]
\[N=mg+ma=m(g+a)=60(9.8+0.30)=606{\rm N}\]
地板所受的压力$F=-N=-606$牛．负号表示地板所受到的压力方向和人所受到的地板弹力方向相反．

如果人是站立在体重计上，则体重计所受的压力的大小
也等于606牛，它比人所受的重力$60\x9.8=588$牛大，出现
超重现象．

当人跟随升降机一起减速上升时，人所受的合力方向竖
直向下．即
\[mg-N'=ma\]
\[N'=mg-ma=m(g-a)=60(9.8-0.30)=570{\rm N}\]
地板所受的压力$F'=-N'=-570$牛．

如果人是站立在体重计上，则体重计所受的压力的大小
也等于570牛．它比人所受的重力588牛小，出现失重现象．

如果人对地板的压力$F=0$(地板对人的支持力$N=0$)
时，根据上式可知这时，
\[mg-0=ma\quad \Rightarrow\quad a=g\]
可见当$a=g$时，即当升降机以$a=g$的加速度竖直向上做匀
减速直线运动或者说当升降机以$a=g$的加速度竖直向下做
匀加速直线运动时，人对地板的压力为零．
\end{solution}
\item 弹簧秤上挂一个14千克的物体，在下列各种情况
下，弹簧秤的读数是多大？
\begin{enumerate}
\item 以$28{\rm cm}/{\rm s^2}$ 的加速度竖直加速上升；
\item 以$10{\rm cm}/{\rm s^2}$的加速度竖直减速上升；
\item 以$10{\rm cm}/{\rm s^2}$的加速度竖直加速下降；
\item 以$28{\rm cm}/{\rm s^2}$的加速度竖直减速下降．
\end{enumerate}
	 
\begin{solution}
    物体在这四种情况下，都受到向下的重力$mg$和向
上的弹簧拉力$F$的作用．
\begin{enumerate}
    \item 物体的加速度$a=28{\rm cm/s^2}=0.28\msq$，方向向
    上，$F-mg=ma$, 所以弹簧秤读数
   \[ F=mg+ma=m(g+a)=14\x(9.8+0.28)=141{\rm N}\]
    \item 物体加速度$a=10{\rm cm/s^2}=0.10\msq$, 方向向
    下，$mg-F=ma$, 所以弹簧秤读数
\[    F=mg-ma=m(g-a)=14\x(9.8-0.10)=136{\rm N}\]
    \item 物体的加速度$a=10{\rm cm/s^2}=0.10\msq$, 方向向
    下，$mg-F=ma$. 所以弹簧秤读数
    \[     F=mg- ma=m(g-a)=14\x(9.8-0.10)=136{\rm N}\]
    \item 物体的加速度$a=28{\rm cm/s^2}=0.28\msq$,方向向
    上，$F-mg=ma$, 所以弹簧秤读数
    \[     F=mg+ma=m(g+a)=14\x(9.8+0.28)=141{\rm N}\]
\end{enumerate}
\end{solution}
\end{enumerate}


\subsection{习题}
\begin{enumerate}
    \item 一个小金属车可以和另外两个相同的小木车在天平
上平衡．用一个力作用在小金属车上，得到2$\msq$的加速
度，如果用相同的力作用在一个静止的小木车上，经过2秒，
小木车的速度是多大？

\begin{solution}
    设小木车的质量为$m_1$, 则小金属车的质量$m_2=2m_1$.
根据在相同的力作用下，物体的加速度跟质量成反比的关系：
\[\frac{a_1}{a_2}=\frac{m_2}{m_1}\]
则小木车的加速度
\[a_1=\frac{m_2}{m_1}a_2=\frac{2m_1}{m_1}\x 2=4\msq\]
根据$v=at$, 经过2秒小木车的速度
\[v_t=a_1t=4\x2=8\ms\]
\end{solution}
\item  一个质量是$m$克的物体沿着光滑的斜面下滑（不
计滑动摩擦），斜面的倾角是$\theta$．试证明这个物体下滑的加速
度$a=g\sin\theta$．

\begin{figure}[htp]
    \centering
\includegraphics[scale=.6]{fig/3-9.png}
    \caption{}
\end{figure}

\begin{solution}
如图3.9所示，物体
在光滑斜面上下滑的过程中，
受到重力$mg$和斜面对物体的
支持力$N$的作用．

把重力分解成平行于斜面方向和垂直于斜面方向的两个
分力$F_1$和$F_2$, 则$F_1=mg\sin\theta$, $F_2=mg\cos\theta$.
由于物体在垂直于斜面方向上没有分运动，它在这个方
向上的合力等于零，即$N-F_2=0$, $N=F_2=mg\cos\theta$. 所以物
体只受到平行于斜面方向的分力$F_1$的作用，因此合力$F_{\text{合}}=F_1=mg\sin\theta$. 所以物体沿斜面下滑的加速度
\[a=\frac{F_{\text{合}}}{m}=\frac{mg\sin\theta}{m}=g\sin\theta\]
\end{solution}
\item  一个质量是10克的物体沿着光滑的斜面从静止开
始滑下（不计摩擦），开始滑下时的竖直高度是10厘米，斜面
的倾角是30$^\circ$，这个物体滑到斜面末端时的速度是多大？另一
个质量是20克的物体也沿着光滑的斜面从静止开始滑下，开
始滑下时的竖直高度相同，斜面的倾角是45$^\circ$，这个物体滑到
斜面末端时的速度是多大？写出速度$v$的表达式，并说明物体
滑到斜面末端时的速度$v$只跟开始滑下时竖直高度$h$、重力
加速度$g$有关，跟物休的质量$m$、斜面的倾角$\theta$无关．

\begin{solution}
    质量是10克的物体沿倾角是30$^\circ$的光滑斜面下滑时的加速度
\[a_1=g\sin\theta_1=9.8\x \sin 30^\circ=9.8\x \frac{1}{2}=4.9\msq\]
已知斜面高度$h=10$厘米，则斜面长
\[\ell_1=\frac{h}{\sin 30^{\circ}}=2h=2\x 10{\rm cm}=0.20{\rm m}\]
物体滑到斜面末端时的速度
\[v_1=\sqrt{2a_1\ell_1}=\sqrt{2\x4.9\x0.20}=1.4\ms\]
质量是20克的物体沿倾角是$45^{\circ}$的光滑斜面滑下时的
加速度
\[a_2=g\sin\theta_2=9.8\x\sin45^{\circ}=4.9\sqrt{2}\ms\]
已知这一斜面高度$h=10$厘米，则这个斜面的长
\[\ell_2=\frac{h}{\sin 45^{\circ}}=\frac{2h}{\sqrt{2}}=\frac{0.20}{\sqrt{2}}{\rm m}\]
物体滑到斜面末端时的速度
\[v_2=\sqrt{2a_2\ell_2}=\sqrt{2\x4.9\sqrt{2}\x\frac{0.20}{\sqrt{2}}}=1.4\ms\]

在初速度等于零的匀变速直线运动中，即时速度$v$跟加
速度$a$以及发生的位移$s$有如下关系，$v^2=2as$. 物体从斜面
上下滑时，由于$a=g\sin\theta$, $s=\ell=\dfrac{h}{\sin\theta}$，
所以
\[v=\sqrt{2a\ell}=\sqrt{2\x g\sin\theta\x \frac{h}{\sin\theta}}=\sqrt{2gh}\]

可见物体沿光滑斜面滑下，滑到斜面末端时的速度．只
跟开始滑下时的竖直高度$h$, 重力加速度$g$有关，而跟物体的
质量$m$以及斜面的倾角$\theta$无关．
\end{solution}
\item  一个放在水平面上的物体，质量是0.50千克，在水
平方向受到6.0牛的拉力，得到10$\msq$的加速度，求这个
物体和平面间的滑动摩擦系数．

\begin{solution}
    物体在水平面上运动时的加速度是由水平拉力$F$和
滑动摩擦力$f$的合力所产生的，即
\[F-f=ma\]
摩擦力
\[f=F-ma=6.0-0.50\x10=1.0{\rm N}\]
滑动摩擦系数
\[\mu =\frac{f}{N}=\frac{f}{mg}=\frac{1.0}{0.5\x 9.8}=0.20\]
\end{solution}
\item   质量是2.75吨的载重卡车，在2900牛的牵引力作
用下开上一个山坡，沿山坡每前进1米升高0.05米．卡车由
静止开始前进100米时速度达到36$\kmh$．求卡车在前
进中所受的摩擦阻力．

\begin{solution}
 设卡车沿山坡向上做匀变速直线运动，已知卡车由
静止开始前进$s=100$米时速度$v=36\kmh=10\ms$．
根据$v^2=2as$, 则加速度
\[a=\frac{v^2}{2s}=\frac{10^2}{2\x 100}=0.5\msq\]

\begin{figure}[htp]
    \centering
\includegraphics[scale=.6]{fig/3-10.png}
    \caption{}
\end{figure}

在运动过程中，卡车受到重力$mg$、山坡的支持力$N$、牵引
力$F$以及摩擦阻力$f$的作用
(图3.10)，这四个力的合力使卡车产生沿着地面向上的
加速度，因此有
\[F-mg\sin\theta-f=ma\]
所以摩擦阻力
\[f=F-mg\sin\theta-ma=2900-2.75\x10^3\x9.8\x\frac{0.05}{1}-2.75\x 10^3\x 0.5=178{\rm N}\]
\end{solution}
\item  汽车开上一段坡路．汽车的质量是1500千克，发动
机的牵引力是3000牛，摩擦阻力是900牛顿．沿坡路每前进
10米升高2米，坡长282米．汽车用20秒走完这段坡路．求
上坡前的速度和到达坡顶的速度．

\begin{solution}
汽车在坡路上行驶时，共受到重力$mg$、坡路的支持
力$N$、牵引力$F$和摩擦阻力$f$的作用，它们的合力使汽车产
生加速度，因此有
\[F-mg\sin\theta-f=ma\]
所以汽车的加速度
\[a=\frac{F-mg\sin\theta-f}{m}=\frac{3000-1500\x9.8\x\frac{2}{10}-900}{1500}=-0.56\msq\]
负号表示加速度的方向和初速度方向相反，说明汽车在坡路
上行驶时做匀减速运动．

根据$s=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2$, 汽车在上坡前的速度
\[v_0=\frac{s-\frac{1}{2}at^2}{t}=\frac{282-\frac{1}{2}(-0.56)\x 20^2}{20}=19.7\ms\]
汽车到达坡顶的速度
\[v_t=v_0+at=19.7+(-0.56)\x20=8.5\ms\]
\end{solution}
\item  有一个质量是3.0千克的木块以速度$v_0$沿光滑的水
平面移动．一个与$v_0$方向相反的18牛的力作用在木块上，
经过一段时间，木块的速度减小到原有速度$v_0$的一半，木块移
动了9.0米的路程．这段时间有多长？$v_0$是多大？

\begin{solution}
根据牛顿第二定律，物体的加速度
\[a=\frac{F}{m}=\frac{18}{3.0}=6.0\msq\]

由于力$F$和物体初速$v_0$的方向相反，所以加速度为负
值，移动了$s=9.0$米后末速为$\dfrac{v_0}{2}$
，则有
\[\begin{split}
    \left(\frac{v_0}{2}\right)^2-v^2_0&=2(-a)s\\
    -3v_0^2&=-8as
\end{split}\]
所以
\[v_0=\sqrt{\frac{8}{3}as}=\sqrt{\frac{8}{3}\x 6.0\x 9.0}=12\ms\]
木块在这段运动中经历的时间
\[t=\frac{v_t-v_0}{a}=\frac{\frac{v_0}{2}-v_0}{a}=\frac{6-12}{-6.0}=1{\rm s}\]
\end{solution}
\item  一个物体在两个彼此平衡的力作用下处于静止状
态．现在把其中某一个力逐渐减小到零，这个物体的加速度
和速度的绝对值怎样变化？如果再逐浙把这个力恢复，这个物
体的加速度和速度的绝对值又将怎样变化？

\begin{solution}
    当把两个彼此平衡着的力中的一个力逐渐减小到零
的过程中，物体所受的合力的大小将从零逐渐增大到等于这
一个力，这样，物体的加速度将从零逐渐增大到某一个最大
值，物体运动的速度也将逐渐增大，而且速度增大得越来越快，加速度达到最大值后，速度均匀增加，物体做匀加速
运动．

如果再逐渐把这个力恢复，则物体运动的合力将逐渐减
小，加速度也将逐渐减小，但速度仍将继续增大，不过增大得
越来越慢了，当这个力恢复到原来的大小时，合力将等于零，
加速度也将等于零，这时的速度将达到某一个最大值，并且不
再发生改变．物体将做匀速直线运动．
\end{solution}
\item  一个放在水平面上的质量是5.0千克的物体，受到
与水平方向成30$^{\circ}$角的斜向上方的拉力作用，物体产生沿水
平方向的加速度是2$\msq$．物体跟平面的滑动摩擦系数是
0.1．求拉力是多大？

\begin{figure}[htp]
    \centering
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\draw(-2,0)--(4,0);
\draw (0,0) rectangle (1,1);
\tkzDrawPoint(.5,.5)
\draw[->, thick](.5,.5)--(-.5,.5)node[left]{$f$};
\draw[->, thick](.5,.5)--(.5,2)node[above]{$N$};
\draw[->, thick](.5,.5)--(.5,-1)node[below]{$mg$};
\draw[->, thick](.5,.5)--+(30:2)node[right]{$F$};
\draw[dashed](.5,.5)--(3,.5);
\tkzDefPoints{.5/.5/O, 3/.5/A, 1.5/1.077/B}
\tkzLabelAngle[right](A,O,B){$\theta=30^{\circ}$}
\tkzMarkAngle[mark=none, size=.8](A,O,B)

\end{tikzpicture}
    \caption{}
\end{figure}

\begin{solution}
设物体所受到的拉力为$F$, 摩擦力为$f$, 水平面对物
体的支持力为$N$, 重力为$mg$, 如图3.11所示．物体在这四个力
的作用下，沿着水平面做匀变速直线运动．拉力$F$在垂直于
水平面方向的分力是$F\sin\theta$,
在平行于水平面方向的分力是$F\cos\theta$．

由于物体在垂直于水平面方向的加速度为零，
\[N+F\sin\theta-mg=0,\qquad  N=mg-F\sin\theta\]
所以摩擦力
\[f=\mu N=\mu (mg-F\sin\theta)\]
在水平方向，$F\cos\theta-f=ma$. 将$f$的表达式代入此式得
\[F\cos\theta-\mu mg+\mu F\sin\theta=ma\]
所以拉力
\[F=\frac{ma+\mu mg}{\cos\theta+\mu \sin\theta}=\frac{5.0\x 2+0.1\x 5.0\x 9.8}{\frac{\sqrt{3}}{2}+0.1\x \frac{1}{2}}=16.3{\rm N}\]
\end{solution}
\item  略（课本已作解答）．

\item    文艺复兴时代意大利的著名画家和学者达$\cdot$芬奇
提出了如下的原理：
    如果力$F$在时间$t$内使质量是$m$的物体移动一段距离
$s$，那么：
\begin{enumerate}
    \item  相同的力在相同的时间内使质量是一半的物休移动
    $2s$的距离；
\item  或者相同的力在一半的时间内使质量是一半的物体
移动相同的距离；
\item  或者相同的力在两倍的时间内使质量是两倍的物体
移动相同的距离；
\item  或者一半的力在相同的时间内使质量是一半的物体
移动相同的距离；
\item  或者一半的力在相同的时间内使质量相同的物体移
动一半的距离．
\end{enumerate}
    这些原理正确不正确？为什么？

    \begin{solution}
可根据牛顿第二定律和运动学公式来判断达·芬奇
所提出的原理是否正确．

设讨论的前提为物体原来是静止的，则
\[s=\frac{1}{2}at^2,\qquad F=ma\]
于是\[s=\frac{1}{2}\frac{F}{m}t^2\]
\begin{enumerate}
    \item 设$F_1=F,\quad m_1=\dfrac{m}{2},\quad t_1=t$, 则
\[s_1=\frac{1}{2}a_1t_1^2=\frac{1}{2}\cdot\frac{F_1}{m_1}t^2_1=\frac{1}{2}\cdot \frac{F}{m/2}t^2=2\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{F}{m}t^2\right)=2s\]
可见原理(a)是正确的．
\item 设$F_2=F,\quad m_2=\dfrac{m}{2},\quad t_1=\dfrac{t}{2}$, 则
\[s_2=\frac{1}{2}a_2t_2^2=\frac{1}{2}\cdot\frac{F_2}{m_2}t^2_2=\frac{1}{2}\cdot \frac{F}{m/2}\left(\frac{t}{2}\right)^2=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{F}{m}t^2\right)=\frac{1}{2}s\]
可见原理(b)是不正确的．
\item 设$F_3=F,\quad m_3=2m,\quad t_3=2t$, 则
\[s_3=\frac{1}{2}a_3t_3^2=\frac{1}{2}\cdot\frac{F_3}{m_3}t^2_3=\frac{1}{2}\cdot \frac{F}{2m}(2t)^2=2\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{F}{m}t^2\right)=2s\]
可见原理(c)是不正确的．
\item 设$F_4=F/2,\quad m=\dfrac{1}{2}m,\quad t_4=t$, 则
\[s_4=\frac{1}{2}a_4t_4^2=\frac{1}{2}\cdot\frac{F_4}{m_4}t^2_4=\frac{1}{2}\cdot \frac{F/2}{m/2}t^2=\frac{1}{2}\cdot\frac{F}{m}t^2=s\]
可见原理(d)是正确的．
\item 设$F_5=F/2,\quad m_5=m,\quad t_5=t$，则
\[s_5=\frac{1}{2}a_5t_5^2=\frac{1}{2}\cdot\frac{F_5}{m_5}t^2_5=\frac{1}{2}\cdot \frac{F/2}{m}t^2=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{F}{m}t^2\right)=\frac{1}{2}s\]
可见原理(e)是正确的．
\end{enumerate}    
    \end{solution}
\item   有两个物体，质量为$m_1$和$m_2$，$m_1$
原来静止，$m_2$以速度$v_0$向右运
动（图3.16）．它们同时开始受到大小
相等、方向与$v_0$相同的恒力$F$的作用，
它们能不能在某一时刻达到相同的速
度？分$m_1<m_2$, $m_1=m_2$, $m_1>m_2$三种情况来讨论．
\begin{figure}[htp]\centering
    \begin{tikzpicture}[scale=.6, >=stealth]
       \draw  (0,0) rectangle (2.5, 2);
       \draw  (0,3) rectangle (2.5, 5);
    \node at (2.5/2,4){$m_1$};
    \node at (2.5/2,1){$m_2$};
    \draw[->](3,1)--node [below]{$v_0$}(4,1);
    
    \end{tikzpicture}
    \caption{}
    \end{figure}

\begin{solution}    
质量为$m_1$的物体甲做初速度等于零的匀变速直线
运动，经过时间$t$的速度$v_1=\dfrac{F}{m_1}t$．

质量为$m_2$的物体乙做初速度为$v_0$的匀变速直线运动．
经过时间$t$的速度$v_2=v_0+\dfrac{F}{m_2}t$，
由此得
\[v_2-v_1=v_0+\left(\dfrac{F}{m_2}-\dfrac{F}{m_1}\right)t=v_0+\frac{m_1-m_2}{m_1m_2}Ft\]

当$m_1\ge m_2$时，$m_1-m_2\ge 0$, 有$v_2-v_1\ge v_0>0$. 即$v_1$和$v_2$永远不会相等．

当$m_1<m_2$时，有
\[v_2-v_1=v_0-\frac{m_2-m_1}{m_1m_2}Ft\]
令$v_2-v_1=0$, 得
\[t=\frac{m_1m_2v_0}{(m_2-m_1)F}\]
这时有$v_1=v_2$, 即甲乙两物体的速度相等．

说明：由于物体的初速度（等于零）比乙物体的初速度
（$v_0$）小，显然，只有甲的加速度比乙的加速度大，即
\[\frac{F}{m_1}>\frac{F}{m_2},\qquad m_1<m_2\]
时，两个物体才能达到相同的速度，这一点，不用公式也可以
得出，借助于公式则可以更明显地看出定量的关系．
\end{solution}
\end{enumerate}

\section{参考资料}
\subsection{研究加速度和力以及质量关系的实验中的误差分析}

在课本实验八和实验九中把砂桶和砂的重量看作使小车
产生加速度的力的条件是：砂桶和砂的质量$m$. 必须远小于小
车的质量$M$. 小车和砂桶应具有相等的加速度，
\[a=\frac{mg}{M+m}\]
式中的$mg$是砂桶和砂的重量，也是作用于由小车和砂桶及
砂组成的物体系的合外力．实验时为了使计算简化，取
$a\approx \dfrac{m}{M}g$．这样就产生了误差，这一误差是由于实验原理的不
完善而带来的，属于系统误差．

下面用具体数字计算一下这一误差的大小．如果实验时
所用小车的质量为200克，砂桶和砂的质量不超过20克，则
加速度的最大值
\[a=\frac{mg}{M+m}=\frac{0.02\x 9.8}{0.2+0.02}=0.89\msq\]
若忽略砂桶和砂的质量$m$, 则
\[a'=\frac{mg}{M}=\frac{0.02\x 9.8}{0.2}=0.98\msq\]
$a'$与$a$相差（即绝对误差）
\[E_a=a'-a=0.98-0.89=0.09\msq\]
相对误差（即百分误差）
\[E_r=\frac{E_a}{a}\x 100\%=\frac{0.09}{0.89}\x 100\%=10.1\%\]

相对误差在10\%左右，这在中学物理实验中是许可的．
当砂桶和砂的质量小于20克，或在小车上加砝码以增大小车
质量时，相对误差均小于10\%, 因此课本上忽略砂桶和砂的
质量来计算加速度的方法是允许的．但是如果砂桶和砂的质
量增大为50克，而小车质量仍为200克，则
\[a=\frac{mg}{M+m}=\frac{0.05\x 9.8}{0.2+0.05}=1.96\msq\]

若忽略$m$, 则
\[a'=\frac{mg}{M}=\frac{0.05\x 9.8}{0.2}=2.45\msq\]
则绝对误差
\[E_a=a'-a=2.45-1.96=0.49\msq\]
相对误差
\[E_r=\frac{E_a}{a}\x 100\%=\frac{0.49}{1.96}\x 100\%=25\%\]
这样的误差就太大了，所以在实验时所用砂桶和砂的质量以
不超过小车质量的1/10为宜．

\subsection{惯性质量和引力质量}
使物体改变运动状态，需要力的作用，在相同的力作用
下，质量越大的物体的加速度越小．这表明了质量是表示物
体所具有的阻碍运动状态改变的一种属性，质量越大，物体越
不容易改变其运动状态，所以质量是物体惯性大小的量度，物
体的这一性质跟物体是否受有重力作用完全无关（譬如放在
水平的气垫导轨上的滑块，或物体在完全失重的情况下）．因
此，牛顿第二定律的公式$F=ma$中所出现的质量$m$, 叫做惯
性质量．

根据万有引力定律可知，物体受到的地球引力的大小和
物体的质量成正比，为了使物体不致由于受到地球引力而掉
向地面，可将物体用绳子悬挂起来（或用支持物支承住）．这样，
绳子（或支持物）就发生形变，物体的质量越大，需要绳子（或
支持物）发生更大程度的形变才能产生足够大的弹力来跟物
体所受到的地球引力相平衡．因此，在这里质量的概念反映了
物体所包含的物质的多少，质量越大，物体所含的物质越多，
受到的地球引力就越大．因此，万有引力定律公式
$F=G\dfrac{Mm}{R^2}$
中所出现的物体质量$m$, 叫做引力质量．

惯性质量和引力质量是从不同的侧面来描述了物质的属
性，它们之间存在着怎样的关系呢？

设有$A,B$两个物体，它们的惯性质量分别为$m_A$、$m_B$, 引
力质量分别为$m'_A$、$m'_B$. 把$A$、$B$这两个物体放在地球上的
同一地点，则它们所受到的地球引力分别为：
\[F_A=G\frac{Mm'_A}{R^2}=G_A,\qquad F_B=G\frac{Mm'_B}{R^2}=G_B\]

若将以上两式相比，则得：
\begin{equation}
    \frac{G_A}{G_B}=\frac{m'_A}{m'_B}
\end{equation}
这表明了$A$、$B$物体所受重力的比等于它们的引力质量的比．

如果使$A$、$B$物体在重力的作用下自由下落，则根据牛顿
第二定律可知，$G_A=m_Ag_A$; $G_B=m_Bg_B$．

由于在同一地点，重力加速度都相等，即$g_A=g_B=g$. 于
是：
\begin{equation}
    \frac{G_A}{G_B}=\frac{m_A}{m_B}
\end{equation}

这表明了在地球上同一地点，物体的重量的比等于它们
的惯性质量的比．

比较(3.1)式和(3.2)式，可见物体的惯性质量$m$和引力质量
$m'$是一致的．

对单摆的振动加以讨论，也可以得出惯性质量和引力质
量是等效的结论．单摆振动在偏角很小的情况下，可看作是
有简谐振动，对于简谐振动来说，它的周期$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$, 
式中$m$是振动系统的惯性质量，$k$是决定于振动系统的一个常数．
在单摆这一振动系统中，$k=\dfrac{m'}{\ell}g$，式中$m'$是摆球的引力质量．
代入周期公式，得单摆振动的周期公式
\[T=2\pi\sqrt{\frac{m\ell}{m'g}}\]

从实验证明，在摆角很小时，单摆的振动周期跟摆长l的
平方根成正比，跟所在地点的重力加速度$g$的平方根成反比，
而与物体质量无关，即
$$T=2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}$$
这只有认为$m'=m$的情
况下才是可能的，因此物体的惯性质量和引力质量是等效的．

因此，在中学物理教学中，不必区分惯性质量和引力质量．


\subsection{狭义相对论和经典力学}
以牛顿定律为基础的经典力学认为，物体的长度和时间
间隔跟物体运动的速度没有关系，即把空间和时间看成是绝
对的．经典力学还认为物体的质量跟物体运动的速度大小也
是无关的．这些结论对于研究宏观物体的运动无疑是正确的，
跟人们的日常经验也是一致的．

但在研究微观粒子的高速运动时，发现了用经典力学无
法解释的矛盾．爱因斯坦在1905年发表了《论运动物体的电
动力学》的著名论文，提出狭义相对性原理（即第一个假设：在
所有惯性系中物理定律具有相同的形式，没有一个惯性系比
别的惯性系更优越）和光速不变原理（即第二个假设：在所有
惯性系中光速都是相同的），创立了狭义相对论，可以用来处
理微观粒子的高速运动的问题．

狭义相对论指出：有两个惯性系$s$和$s'$, 它们具有互相平
行的坐标轴$(x,y,z)$, 并且$x$-$x'$轴是公共的．若$s'$相对于$s$
以速率$v$运动，在这两个不同的惯性系中的观察者，对于同一
地点发生的两个事件之间的时间间隔的测量结果是不同的．
在$s'$中的观察者测得的时间间隔为$\Delta t'$, 而由于$s$中的观察
者认为$s'$是在运动着的，他所测得的时间间隔$\Delta t$由下式
给出：
\[\Delta t=\frac{\Delta t'}{\sqrt{1-\left(\dfrac{v}{c}\right)^2}}\]

可见$\Delta t>\Delta t'$. 即时间发生了“膨胀”，运动的钟变慢
了——通常叫做钟慢效应．

如果有一根相对于$s'$是静止的尺，平行于$x'$轴放置，在
$s'$中测得尺的长度为$\Delta x'$, 而在$s$中的观察者看来，这把尺是
运动的，他测得的尺的长度$\Delta x$由下式给出：
\[\Delta x={\sqrt{1-\left(\dfrac{v}{c}\right)^2}}\Delta x'\]

可见$\Delta x<\Delta x'$, 即长度发生了“收缩”，运动的尺变短
了——通常叫做尺缩效应．

狭义相对论还导出，跟对时间间隔和长度的测量一样，质
量$m$也是速率$v$的函数．如果质点静止时的质量为$m_0$, 则
质点相对于观察者以速率$v$运动时，它的相对论质量$m$将由
下式给出：
\[m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\left(\dfrac{v}{c}\right)^2}}\]

可见$m>m_0$, 即质量随着速率的增大而变大，通常叫做
质-速关系．

以上三个关系式表明了狭义相对论提出的一种新的时空
观．而当速率$v\ll c$时，则$\Delta t\approx \Delta t'$, $\Delta x\approx \Delta x'$, $m\approx m_0$. 这表
明经典力学所描述的运动规律是狭义相对论的特殊情况．因
而处理宏观物体的低速运动时使用牛顿力学是足够准确的．

此外，从狭义相对论的结论中，还导出了质量和能量的等
效原理．
\[E=mc^2\]

这表明了总能量守恒和相对论质量守恒是等效的，这一
原理是研究原子核反应及其应用的一个重要理论依据．
